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  3. 设n维列向量组α1…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1…，βm线性无关的充分必要条件是( )

设n维列向量组α1…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1…，βm线性无关的充分必要条件是( )

admin2019-08-12  72
问题 设n维列向量组α1…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1…，βm线性无关的充分必要条件是(    )
选项 A、向量组α1…，αm可由向量组β1…，βm线性表示．
B、向量组β1…，βm可由向量组α1…，αm线性表示．
C、向量组β1…，βm与向量组α1…，αm等价．
D、矩阵A=(α1…，αm)与矩阵B=(β1…，βm)等价．
答案D
解析 本题考查向量线性表示与等价向量组的概念以及对充分必要条件的理解．要求考生掌握两个向量组等价充分必要条件是这两个向量组能互相线性表示；两个同型矩阵等价充分必要条件是它们的秩相等．选项A、B、C都不是向量组β1β2……βm线性无关的必要条件．例如

这两个向量组都线性无关，秩都为2，但这两组向量不能互相线性表示，从而不等价．所以选项A、B、C均不正确．但是“矩阵A、B等价的充要条件是r(A)=r(B)”，而

所以β1β2……βm也线性无关的充分必要条件r(A)=r(B)，即矩阵A与B等价，故选D．
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考研数学二

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