2. 考研
  3. 设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：A＋B的特征值全大于a＋b．

设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：A＋B的特征值全大于a＋b．

admin2017-10-19  38
问题 设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：A＋B的特征值全大于a＋b．
选项
答案设λ为A＋B的任一特征值，则有X≠0，使 (A＋B)X＝λX， 故有(A＋B)X－(a＋b)X＝λX－(a＋b)X 即[(A－aE)＋(B－bE)]X＝[λ－(a＋b)]X 故λ－(a＋b)为(A－aE)＋(B－bE)的特征值，由已知条件易知A－aE及B－bE都是正定矩阵． 故(A—aE)＋(B－bE)正定，因而它的特征值全大于0，因此有λ－(a＋b)＞0，[*]λ＞a＋b．
解析
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考研数学三

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