2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且｜f’(x)｜≤1，试证：1＜∫02f(x)dx≤3．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且｜f’(x)｜≤1，试证：1＜∫02f(x)dx≤3．

admin2017-05-31  32
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且｜f’(x)｜≤1，试证：1＜∫02f(x)dx≤3．
选项
答案由拉格朗日微分中值定理，得 存在点ξ1∈(0，x)，使得f(x)一f(0)=f’(ξ1)x， 存在点ξ2∈(x，2)，使得f(x)一f(2)=f’(ξ2)(x一2)． 又｜f’(x)｜≤1，所以有 ｜f(x)一f(0)｜≤x<=>1一x≤f(x)≤1+x，x∈[0，1]， ｜f(x)一f(2)｜≤2一x<=>x一1≤f(x)≤3一x，x∈[1，2]． 由定积分的性质可知 ∫02f(x)dx≥∫01(1一x)dx+∫02(x一1)dx=1， ∫02f(x)dx≤∫01(1+x)dx+∫12(3一x)dx=3． 故1≤∫02f(x)dx≤3．
解析 先应用拉格朗日微分中值定理估计f(x)的值域范围，再用积分性质估计定积分．
已知f(x)一阶可导，且至少有一个端点函数值为零的命题，通常先写出含这个端点的拉格朗日微分中值定理的结论：
    f(x)=f(x)一f(a)=f’(ξ)(x—a)  (f(a)=0)，
或
    f(x)=f(x)一f(b)=f’(ξ)(x一b)  (f(b)=0)．
然后，根据题意进行不等式放缩．
  若有f(a)=f(b)=0，则f(x)可表示为
    f(x)=f(x)一f(a)=f’(ξ1)(x一a)，
    f(x)=f(x)一f(b)=f’(ξ2)(x一b)．
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