2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明： (Ⅰ)存在ξi∈(a，b)，使得f(ξi)=f’’(ξi)(i=1，2)； (Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=f’’(η)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明： (Ⅰ)存在ξi∈(a，b)，使得f(ξi)=f’’(ξi)(i=1，2)； (Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=f’’(η)．

admin2013-08-05  56
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：
(Ⅰ)存在ξi∈(a，b)，使得f(ξi)=f’’(ξi)(i=1，2)；
(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=f’’(η)．
选项
答案(Ⅰ)令F(x)=∫axf(t)dt，F(a)=F(b)=0， 由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得f’(c)=0，即f(c)=0． 令h(x)=e-xf(x)，则h(a)=h(c)=h(b)=0， 由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0， 而h’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f(ξi)=f’(ξi)(i=1，2)． (Ⅱ)令H(x)=e-x[f’(x)-f(x)]，H’(x)=ex[f’’(x)-f(x)]． H(ξ1)=H(ξ2)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得H’(η)=0， 注意到ex≠0，所以f(η)=f’’(η)．
解析
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考研数学一

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