设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(－3，4)，则随机变量Z=－2X+3Y+5的概率密度为f(z)=___________．

admin2019-02-23 55

问题设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(－3，4)，则随机变量Z=－2X+3Y+5的概率密度为f(z)=___________．

选项

答案[*]

解析因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以z=－2X+3Y+5服从正态分布．要求f(z)=

，则需确定参数μ与σ的值．又E(Z)=μ，D(Z)=σ²，因此归结为求E(Z)与D(Z)．根据数学期望和方差的性质及
E(X)=1， D(X)=2， E(Y)=－3， D(Y)=4，
可得 E(Z)=E(－2X+3Y+5)=－2E(X)+3E(Y)+5
=(－2)×1+3×(－3)+5=－6，
D(Z)=D(－2X+3Y+5)=(－2)²D(X)+3²D(Y)=4×2+9×4=44．
因此Z的概率密度为

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