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  3. 设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(－3，4)，则随机变量Z=－2X+3Y+5的概率密度为f(z)=___________．

设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(－3，4)，则随机变量Z=－2X+3Y+5的概率密度为f(z)=___________．

admin2019-02-23  58
问题 设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(－3，4)，则随机变量Z=－2X+3Y+5的概率密度为f(z)=___________．
选项
答案[*]
解析 因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以z=－2X+3Y+5服从正态分布．要求f(z)=，则需确定参数μ与σ的值．又E(Z)=μ，D(Z)=σ2，因此归结为求E(Z)与D(Z)．根据数学期望和方差的性质及
E(X)=1，  D(X)=2， E(Y)=－3，  D(Y)=4，
可得    E(Z)=E(－2X+3Y+5)=－2E(X)+3E(Y)+5
    =(－2)×1+3×(－3)+5=－6，
D(Z)=D(－2X+3Y+5)=(－2)2D(X)+32D(Y)=4×2+9×4=44．
因此Z的概率密度为
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考研数学一

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