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设随机变量X服从参数为1的指数分布,令Y=max{X,1},求 (Ⅰ)Y的分布函数; (Ⅱ)P{Y=1}; (Ⅲ)EY.
设随机变量X服从参数为1的指数分布,令Y=max{X,1},求 (Ⅰ)Y的分布函数; (Ⅱ)P{Y=1}; (Ⅲ)EY.
admin
2018-03-30
56
问题
设随机变量X服从参数为1的指数分布,令Y=max{X,1},求
(Ⅰ)Y的分布函数;
(Ⅱ)P{Y=1};
(Ⅲ)EY.
选项
答案
(Ⅰ)由X~E(1),X的概率密度为f(x)=[*] Y=max{X,1}=[*]故Y∈[1,+∞). 由分布函数的定义F
Y
(y)=P{Y≤y}. 当y<1时,F
Y
(y)=P([*]}=0; 当y≥1时,F
Y
(y)=P(Y≤y)=P{Y=1}+P{1<Y≤y}=P{X≤1}+P{1<X≤y} =F
X
(y)=1一e
-y
, 其中F
X
(x)为X的分布函数. 所以 F
Y
(y)=[*] (Ⅱ)P(Y=1)=F
Y
(1)一F
Y
(1一0)=1一e
-1
一0=1一e
-1
. (Ⅲ)由(Ⅱ)知Y不是连续型随机变量,故 EY=E[max(X,1}]=∫
-∞
+∞
max{x,1}f(x)dx =∫
0
+∞
max{x,1}e
-x
dx =∫
0
1
1.e
-x
dx+∫
1
+∞
x.e
-x
dx =1+e
-1
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rwX4777K
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考研数学三
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