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  3. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，令Y=max{X，1}，求 (Ⅰ)Y的分布函数； (Ⅱ)P{Y=1}； (Ⅲ)EY．

设随机变量X服从参数为1的指数分布，令Y=max{X，1}，求 (Ⅰ)Y的分布函数； (Ⅱ)P{Y=1}； (Ⅲ)EY．

admin2018-03-30  57
问题 设随机变量X服从参数为1的指数分布，令Y=max{X，1}，求
(Ⅰ)Y的分布函数；
(Ⅱ)P{Y=1}；
(Ⅲ)EY．
选项
答案(Ⅰ)由X～E(1)，X的概率密度为f(x)=[*] Y=max{X，1}=[*]故Y∈[1，+∞)． 由分布函数的定义FY(y)=P{Y≤y}． 当y＜1时，FY(y)=P([*]}=0； 当y≥1时，FY(y)=P(Y≤y)=P{Y=1}+P{1＜Y≤y}=P{X≤1}+P{1＜X≤y} =FX(y)=1一e-y， 其中FX(x)为X的分布函数． 所以 FY(y)=[*] (Ⅱ)P(Y=1)=FY(1)一FY(1一0)=1一e-1一0=1一e-1． (Ⅲ)由(Ⅱ)知Y不是连续型随机变量，故 EY=E[max(X，1}]=∫-∞+∞max{x，1}f(x)dx =∫0+∞max{x，1}e-xdx =∫011．e-xdx+∫1+∞x．e-xdx =1+e-1．
解析
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考研数学三

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