设随机变量X服从参数为1的指数分布，令Y=max{X，1}，求 (Ⅰ)Y的分布函数； (Ⅱ)P{Y=1}； (Ⅲ)EY．

admin2018-03-30 72

问题设随机变量X服从参数为1的指数分布，令Y=max{X，1}，求
(Ⅰ)Y的分布函数；
(Ⅱ)P{Y=1}；
(Ⅲ)EY．

选项

答案(Ⅰ)由X～E(1)，X的概率密度为f(x)=[*] Y=max{X，1}=[*]故Y∈[1，+∞)．由分布函数的定义F_Y(y)=P{Y≤y}．当y＜1时，F_Y(y)=P([*]}=0；当y≥1时，F_Y(y)=P(Y≤y)=P{Y=1}+P{1＜Y≤y}=P{X≤1}+P{1＜X≤y} =F_X(y)=1一e^-y，其中F_X(x)为X的分布函数．所以 F_Y(y)=[*] (Ⅱ)P(Y=1)=F_Y(1)一F_Y(1一0)=1一e^-1一0=1一e^-1． (Ⅲ)由(Ⅱ)知Y不是连续型随机变量，故 EY=E[max(X，1}]=∫_-∞^+∞max{x，1}f(x)dx =∫₀^+∞max{x，1}e^-xdx =∫₀¹1．e^-xdx+∫₁^+∞x．e^-xdx =1+e^-1．

解析

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