设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得 f(x,y)g(x,y)dσ＝f(ξ,η)g(x,y)dσ．

admin2018-01-23 51

问题设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得

f(x,y)g(x,y)dσ＝f(ξ,η)

g(x,y)dσ．

选项

答案因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故 m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得 mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y) 积分得 m[*]g(x,y)dσ≤[*]f(x,y)g(x,y)dσ≤M[*]g(x,y)dσ (1)当[*]g(x，y)dσ＝0时，[*]f(x，y)g(x，y)dσ＝0，则对任意的(ξ，η)∈D，有 [*]f(x,y)g(x,y)dσ＝f(ξ,η)[*]g(x,y)dσ (2)当[*]g(x,y)dσ＞0时， [*]

解析

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考研数学三

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