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假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=。求: (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z); (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v)。
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=。求: (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z); (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v)。
admin
2017-08-28
42
问题
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=
。求:
(Ⅰ)Z=XY的概率密度f
Z
(z);
(Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度f
V
(v)。
选项
答案
(Ⅰ)根据题意P{Y=-1}=[*],P{Y=1}=[*],X~N(0,1)且X与Y相互独立,所以 Z=XY的分布函数为 F
Z
(z)=P{XY≤z}=P{Y=-1}P{XY≤z|Y=-1}+P{Y=1}P{XY≤z|Y=I} =P{Y=-1}P{-X≤z|Y=-1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=-1}P{X≥-z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布,所以其概率密度为 [*] (Ⅱ)由于V=|X-Y|只取非负值,因此当v<0时,其分布函数F
V
(v)=P{X-Y≤v}=0;当v≥0时, F
V
(v)=P{-v≤X-Y≤v} =P{Y=-1}P{-v≤X-Y≤v|Y=-1}+P{Y=1}P{-v≤X-Y≤v|Y=1} [*] 综上计算可得, [*] 由于F
V
(v)是连续函数,且除个别点外,导数都是存在的,所以V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学一
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