设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)＋ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，f’(0)=，其中f(x)连续可导，求f(x)．

admin2020-03-05 35

问题设曲线积分∫_L[f^’(x)+2f(x)＋e^x]ydx+[f^’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，f^’(0)=

，其中f(x)连续可导，求f(x)．

选项

答案P(x，y)=[f^’(x)+2f(x)+e^x]y， Q(x，y)=f^’(x)－x， [*]=f^’’(x)一1， [*]=f^’(x)+2f(x)＋e^x，因为曲线积分与路径无关，所以[*]，整理得f^’’(x)一f^’(x)一2f(x)=e^x+1，特征方程为λ²一λ一2=0，特征值为λ₁=一1，λ₂=2，方程f^’’(x)－f^’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C₁e^－x+C₂e^2x；令方程f^’’(x)－f^’(x)一2f(x)=e^x的特解为f₁(x)=ae^x，代入得a=[*]，即f₁(x)=[*]e^x；方程f^’’(x)－f^’(x)－2f(x)=1的特解为f₂(x)=[*]，方程f^’’(x)一f^’(x)一2f(x)=e^x+1的特解为f₀(x)=[*](e^x+1)，方程f^’’(x)一f^’(x)－2f(x)=e^x+1的通解为f(x)=C₁e^－x+C₂e^2x－[*](e^x+1)， [*]

解析

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考研数学一

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设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)＋ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，f’(0)=，其中f(x)连续可导，求f(x)．

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