2. 考研
  3. 设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)＋ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，f’(0)=，其中f(x)连续可导，求f(x)．

设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)＋ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，f’(0)=，其中f(x)连续可导，求f(x)．

admin2020-03-05  27
问题 设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)＋ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，f’(0)=，其中f(x)连续可导，求f(x)．
选项
答案P(x，y)=[f’(x)+2f(x)+ex]y， Q(x，y)=f’(x)－x， [*]=f’’(x)一1， [*]=f’(x)+2f(x)＋ex， 因为曲线积分与路径无关，所以[*]，整理得f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1， 特征方程为λ2一λ一2=0，特征值为λ1=一1，λ2=2， 方程f’’(x)－f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1e－x+C2e2x； 令方程f’’(x)－f’(x)一2f(x)=ex的特解为f1(x)=aex，代入得a=[*]，即f1(x)=[*]ex； 方程f’’(x)－f’(x)－2f(x)=1的特解为f2(x)=[*]， 方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1的特解为f0(x)=[*](ex+1)， 方程f’’(x)一f’(x)－2f(x)=ex+1的通解为f(x)=C1e－x+C2e2x－[*](ex+1)， [*]
解析
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考研数学一

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