2. 考研
  3. (12年)(I)证明方程xn+n-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(I)中的实根为xn,证明存在，并求此极限．

(12年)(I)证明方程xn+n-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(I)中的实根为xn,证明存在，并求此极限．

admin2018-07-27  40
问题 (12年)(I)证明方程xn+n-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根；
(Ⅱ)记(I)中的实根为xn,证明存在，并求此极限．
选项
答案(I)令f(x)=xn+xn-1+…+x一1(n＞1)，则f(x)在[*]上连续，且[*] 由闭区间上连续函数的介值定理知．方程f(x)=0在[*]内至少有一个实根． [*] f’(x)=nxn-1+(n一1)xn-2+…+2x+1＞1＞0． 故f(x)在[*]内单调增加． 综上所述，方程f(x)=0在[*]内有且仅有一个实根． (Ⅱ)由[*]知数列{xn}有界,又 xnn+xnn-1+…+xn=1 xn+1n-1+xn+1n+xn+1n-1+…+xn+1=1 因为xn+1n+1＞0，所以 xnn+xnn-1+…+xn＞xn+1n+xn+1n-1+…+xn+1 于是有 xn＞xn+1．n=1，2，…， 即{xn}单调减少． 综上所述，数列{xn}单调有界．故{xn}收敛． [*] 令n→∞并注意到[*]＜xn＜x1＜1，则有 [*]
解析
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考研数学二

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