设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程求f(t)．

admin2017-10-23 52

问题设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程

求f(t)．

选项

答案首先把右端的二重积分化为定积分．设x=rcosθ，y=rsinθ，引入极坐标(r，θ)，于是，在极坐标系(r，θ)中积分区域x²+y²≤4t²可表为0≤θ≤2π，0≤r≤2t，面积元dxdy=rdrdθ，[*]=r，于是 [*] 从而未知函数f(t)满足积分方程f(t)=8π∫₀^tsf(s)dx+[*]，令t=0得f(0)=1；用变上限定积分求导公式得 f’(t)=8πtf(t)+8πt[*]．由此可知f(t)是一阶线性微分方程y’一8πty=8πt[*]满足初始条件y(0)=1的特解．解出可得 f(t)=(1+4πt²)[*]．

解析

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