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考研
设A为n阶方阵,且n≥2。证明:|A*|=|(一A)*|。
设A为n阶方阵,且n≥2。证明:|A*|=|(一A)*|。
admin
2018-01-30
70
问题
设A为n阶方阵,且n≥2。证明:|A
*
|=|(一A)
*
|。
选项
答案
设A=(a
ij
),|A|中元素a
ij
的代数余子式为A
ij
,则|—A|中一a
ij
的代数余子式B
ij
=(一1)
n-1
A
ij
。于是,(一A)
*
=(一1)
n-1
A
*
。所以 |(一A)
*
|=|(一1)
n-1
A
*
|=[(一1)
n-1
]
n
|A
*
|=|A
*
|。 (一A)
*
=|—A|(一A)
-1
=(一1)
n
|A|.(一1)A
-1
=(一1)
n-1
A
*
, 故有|(一A)
*
|=|(一1)
n-1
A
*
|=(一1)
(n-1)n
|A
*
|=|A
*
|。
解析
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考研数学二
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