设A为n阶方阵，且n≥2。证明：｜A｜=｜(一A)｜。

admin2018-01-30 44

问题设A为n阶方阵，且n≥2。证明：｜A^*｜=｜(一A)^*｜。

选项

答案设A=(a_ij)，｜A｜中元素a_ij的代数余子式为A_ij，则｜—A｜中一a_ij的代数余子式B_ij=(一1)^n－1A_ij。于是，(一A)^*=(一1)^n－1A^*。所以｜(一A)^*｜=｜(一1)^n－1A^*｜=[(一1)^n－1]ⁿ｜A^*｜=｜A^*｜。 (一A)^*=｜—A｜(一A)^－1=(一1)ⁿ｜A｜．(一1)A^－1=(一1)^n－1A^*，故有｜(一A)^*｜=｜(一1)^n－1A^*｜=(一1)^(n－1)n｜A^*｜=｜A^*｜。

解析

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