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  3. 设A=(α1，α2，α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1，α2，α3，β1，β2线性无关

设A=(α1，α2，α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1，α2，α3，β1，β2线性无关

admin2019-12-26  65
问题 设A=(α1，α2，α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1，α2，α3，β1，β2线性无关
选项
答案因β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，所以有5-r(AT)=2，即r(A)=3，故α1，α2，α3线性无关 又 [*] 有 αjTβi=0(i=1，2，j=1，2，3)． 设 k1α1+k2α2+k3α3+k4β1+k5β2=0， 令 γ=k1α1+k2α2+k3α3=－k4β1－k5β2， 则 (k1α1+k2α2+k3α3，－k4β1－k5β2)=(γ，γ)=0． 因而 k1α1+k2α2+k3α3=0，－k4β1－k5β2=0， 而α1，α2，α3及β1，β2是线性无关的，故k1=k2=k3=0，k4=k5=0，从而α1，α2，α3，β1，β2线性无关．
解析
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考研数学三

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