设f(x)在(a，+∞)内可导，求证： (Ⅰ)若x0∈(a，+∞)，f’(x)≥α＞0(x＞x0)，则f(x)=+∞； (Ⅱ)若f’(x)=A＞0，则f(x)=+∞．

admin2018-06-14 16

问题设f(x)在(a，+∞)内可导，求证：
(Ⅰ)若x₀∈(a，+∞)，f’(x)≥α＞0(x＞x₀)，则

f(x)=+∞；
(Ⅱ)若

f’(x)=A＞0，则

f(x)=+∞．

选项

答案(Ⅰ)[*]x＞x₀，由拉格朗日中值定理，ヨξ∈(x₀，x)， f(x)=f(x₀)+f’(ξ)(x－x₀)＞f(x₀)+α(x－x₀)，又因 [*] (Ⅱ)因[*]f’(x)=A＞A／2＞0，由极限的不等式性质[*]ヨx₀∈(a，+∞)，当x＞x₀时f’(x)＞A／2＞0，由题(Ⅰ)得[*]f(x)=+∞．

解析

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考研数学一

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