2. 考研
  3. 设三维空间中一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成。过z轴上任意一点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面，与该容器截的水平面为D(z)，该截面是半径为r(z)＝的圆面。若以每秒3单位体积的均匀速度往该容器内注水，并假设开始时容器是

设三维空间中一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成。过z轴上任意一点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面，与该容器截的水平面为D(z)，该截面是半径为r(z)＝的圆面。若以每秒3单位体积的均匀速度往该容器内注水，并假设开始时容器是

admin2019-12-06  59
问题 设三维空间中一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成。过z轴上任意一点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面，与该容器截的水平面为D(z)，该截面是半径为r(z)＝的圆面。若以每秒3单位体积的均匀速度往该容器内注水，并假设开始时容器是空的。
(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z＝z(t)与相应的水体积V＝V(t)之间的关系式；
(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度；
(Ⅲ)求灌满容器所需的时间。
选项
答案(Ⅰ)由题意得，t时刻注人容器中水的体积为3t，设此时水面高度为z(t)，由截面已知的立体体积公式得 v(t)＝∫0z(t)D(z)dz＝∫0z(t)πr2(z)dz＝π∫0z(t)[(1－z)2＋z2]dz， 依题意得π∫0z(t) [(1－z)2＋z2]dz＝3t。 (Ⅱ)在(Ⅰ)中结论的两边对t求导得π[(1－z)2＋z2][*]＝3， 即[*]， 因此求[*]的最大值即求f(z)＝(1－z)2＋z2在[0，1]上的最小值点。 由f’＝2z－2(1－z) ＝2(2z－1)＝ [*] 可知，当z＝1/2时,f(z)在[0，1]上取最小值，故z＝1/2时水面上升速度最大。 (Ⅲ)灌满容器时体积为V(t)＝∫01D(z)dz＝π∫0z(t)[(1－z)2＋z2]dz＝[*]， 因此灌满容器所需的时间为[*]秒。
解析
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考研数学二

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