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设二次型f(x1,x2,x3)一XT.AX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=O,其中 求正交变换X=QY将二次型化为标准形;
设二次型f(x1,x2,x3)一XT.AX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=O,其中 求正交变换X=QY将二次型化为标准形;
admin
2018-04-15
52
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)一XT.AX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=O,其中
求正交变换X=QY将二次型化为标准形;
选项
答案
由AB+B=O得(E+A)B=O,从而r(E+A)+r(B)≤3, 因为r(B)=2,所以r(E+A)≤1,从而λ=一1为A的特征值且不低于2重, 显然λ=一1不可能为三重特征值,则A的特征值为λ
1
=λ
2
=一1,λ
3
=5. 由(E+A)B=0得B的列组为(E+A)X=0的解, 故[*]为λ
1
=λ
2
=一1对应的线性无关解. 令[*]为λ
3
=5对应的特征向量, 因为A
T
=A,所以[*]解得[*] 令[*]正交化得 [*] 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
),则[*]
解析
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考研数学三
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