设二次型f(x1，x2，x3)一XT．AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中求正交变换X=QY将二次型化为标准形；

admin2018-04-15 52

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)一XT．AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中

求正交变换X=QY将二次型化为标准形；

选项

答案由AB+B=O得(E+A)B=O，从而r(E+A)+r(B)≤3，因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=一1为A的特征值且不低于2重，显然λ=一1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ₁=λ₂=一1，λ₃=5．由(E+A)B=0得B的列组为(E+A)X=0的解，故[*]为λ₁=λ₂=一1对应的线性无关解．令[*]为λ₃=5对应的特征向量，因为A^T=A，所以[*]解得[*] 令[*]正交化得 [*] 令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则[*]

解析

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考研数学三

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