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  3. 设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次为α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，则P-1AP=( )

设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次为α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，则P-1AP=( )

admin2019-05-15  35
问题 设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次为α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，则P-1AP=(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案A
解析 由题意得，Aα2=3α2，因此有A(-α2)=3(-α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，-α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理2α3仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量。
  当P-1AP=Λ时，P由A的特征向量所构成，Λ由A的特征值所构成，且P的列向量与Λ对角线上的元素的位置是一一对应的。因为已知矩阵A的特征值是1，3，-2，故对角矩阵Λ对角线上元素应当由1，3，-2构成，因此排除(B)、(C)。
    由于2α3是属于λ=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵Λ中应当是第2列第2行的元素，故应选(A)。
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考研数学一

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