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设A是三阶矩阵,其特征值是1,3,-2,相应的特征向量依次为α1,α2,α3,若P=(α1,2α3,-α2),则P-1AP=( )
设A是三阶矩阵,其特征值是1,3,-2,相应的特征向量依次为α1,α2,α3,若P=(α1,2α3,-α2),则P-1AP=( )
admin
2019-05-15
18
问题
设A是三阶矩阵,其特征值是1,3,-2,相应的特征向量依次为α
1
,α
2
,α
3
,若P=(α
1
,2α
3
,-α
2
),则P
-1
AP=( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
A
解析
由题意得,Aα
2
=3α
2
,因此有A(-α
2
)=3(-α
2
),即当α
2
是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时,-α
2
仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理2α
3
仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量。
当P
-1
AP=Λ时,P由A的特征向量所构成,Λ由A的特征值所构成,且P的列向量与Λ对角线上的元素的位置是一一对应的。因为已知矩阵A的特征值是1,3,-2,故对角矩阵Λ对角线上元素应当由1,3,-2构成,因此排除(B)、(C)。
由于2α
3
是属于λ=-2的特征向量,所以-2在对角矩阵Λ中应当是第2列第2行的元素,故应选(A)。
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