不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小： (1)∫01xdx与∫01x2dx； (2)∫0π／2xdx与∫0π／2sinxdx．

admin2022-11-23 10

问题不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小：
(1)∫₀¹xdx与∫₀¹x²dx；
(2)∫₀^π／2xdx与∫₀^π／2sinxdx．

选项

答案(1)显然在[0，1]上x²≤x，根据积分不等式有∫₀¹xdx≥∫₀¹x²dx．因f(x)=x-x²除x=0，1处处满足f(x)＞0，即x＞x²，从而∫₀¹(x-x²)dx＞0，因此 ∫₀¹xdx＞∫₀¹x²dx． (2)因在[0，π／2]上，sinx≤x，且除x=0处处有sinx＜x，所以与(1)类似，有 ∫₀^π／2xdx＞∫₀^π／2sinxdx．

解析

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考研数学一

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