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  3. 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小： (1)∫01xdx与∫01x2dx； (2)∫0π／2xdx与∫0π／2sinxdx．

不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小： (1)∫01xdx与∫01x2dx； (2)∫0π／2xdx与∫0π／2sinxdx．

admin2022-11-23  11
问题 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小：
    (1)∫01xdx与∫01x2dx；
    (2)∫0π／2xdx与∫0π／2sinxdx．
选项
答案(1)显然在[0，1]上x2≤x，根据积分不等式有∫01xdx≥∫01x2dx． 因f(x)=x-x2除x=0，1处处满足f(x)＞0，即x＞x2，从而∫01(x-x2)dx＞0，因此 ∫01xdx＞∫01x2dx． (2)因在[0，π／2]上，sinx≤x，且除x=0处处有sinx＜x，所以与(1)类似，有 ∫0π／2xdx＞∫0π／2sinxdx．
解析
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考研数学一

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