设f(x)在[a，b]上连续，x，y∈[a，b]，满足a≤f(x)≤b以及｜f(x)-f(y)｜≤α｜x-y｜，其中0≤α＜1．试证：存在唯一的

admin2022-10-31 18

问题设f(x)在[a，b]上连续，

x，y∈[a，b]，满足a≤f(x)≤b以及｜f(x)-f(y)｜≤α｜x-y｜，其中0≤α＜1．试证：存在唯一的

选项

答案任取x₀∈[a，b]，令x_n=f(x_n-1)(n=1，2，…)，则｜x_n+1-x_n｜=｜f(x_n)-f(x_n-1)｜≤α｜x_n-x_n-1｜，递推可得｜x_n+1-x_n｜≤αⁿ｜x₁-x₀｜，所以对[*]P∈N⁺，有｜x_n+p-x_n｜≤｜x_n+p-x_n+p-1｜+｜x_n+p-1-x_n+p-2｜+…+｜x_n+1-x_n｜ ≤(α^n+p-1+α^n+p-2+…+αⁿ)｜x₁-x₀｜ [*]

解析

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考研数学二

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