2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，x，y∈[a，b]，满足a≤f(x)≤b以及｜f(x)-f(y)｜≤α｜x-y｜，其中0≤α＜1．试证：存在唯一的

设f(x)在[a，b]上连续，x，y∈[a，b]，满足a≤f(x)≤b以及｜f(x)-f(y)｜≤α｜x-y｜，其中0≤α＜1．试证：存在唯一的

admin2022-10-31  16
问题 设f(x)在[a，b]上连续，x，y∈[a，b]，满足a≤f(x)≤b以及｜f(x)-f(y)｜≤α｜x-y｜，其中0≤α＜1．试证：存在唯一的
选项
答案任取x0∈[a，b]，令xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，则 ｜xn+1-xn｜=｜f(xn)-f(xn-1)｜≤α｜xn-xn-1｜， 递推可得｜xn+1-xn｜≤αn｜x1-x0｜，所以对[*]P∈N+，有 ｜xn+p-xn｜≤｜xn+p-xn+p-1｜+｜xn+p-1-xn+p-2｜+…+｜xn+1-xn｜ ≤(αn+p-1+αn+p-2+…+αn)｜x1-x0｜ [*]
解析
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考研数学二

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