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n阶矩阵A和B具有相同特征向量是A与B相似的( )条件.
n阶矩阵A和B具有相同特征向量是A与B相似的( )条件.
admin
2020-06-05
22
问题
n阶矩阵A和B具有相同特征向量是A与B相似的( )条件.
选项
A、充分必要
B、必要非充分
C、充分非必要
D、既非充分,也非必要
答案
D
解析
若A与B相似,则存在可逆矩阵P,使得P
﹣1
AP=B.若α为A的属于特征值λ的特征向量,则有
B(P
﹣1
α)=P
﹣1
AP(P
﹣1
α)=P
﹣1
Aα=P
﹣1
(λα)=λ(P
﹣1
α)
即P
﹣1
α是B的属于特征值λ的特征向量.这表明一般而言P
﹣1
α≠α,即矩阵A与B相似不能保证A和B具有相同的特征向量.若取A=
,B=
,则它们相似,但是不具有相同的特征向量.
另一方面,若A与B具有相同特征向量α,但它们可以属于不同的特征值,即Aα=λα,Bα=μα,λ≠μ.而A与B特征值不同,所以A与B不能相似.如取A=
,B=
,它们具有相同的特征向量,但不相似.
因此,A和B具有相同特征向量是A与B相似的既非充分,也非必要条件.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sfv4777K
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考研数学一
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