设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且=0，求证：存在ξε(0，4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。

admin2022-04-10 75

问题设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且

=0，求证：存在ξε(0，4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。

选项

答案方法一：用反证法证明本题，由题设f(x)在[0，4]上连续即知f(4-x)在[0，4]上连续，从而其和f(x)+f(4-x)也在[0，4]上连续，若不存在ξε(0，4)使f(ξ)+f(4-ξ)=0，则f(x)+f(4-x)或在(0，4)内恒正，或在(0，4)内恒负，于是必有[*]。但是[*]=0用换元x=4-t可得[*]，于是[*]，由此可得出的矛盾表明必存在ξε(0，4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。方法二：作换元t=4-x，则x：0→4对应t：4→0，且dx=-dt，从而[*]，由此即得[*]，于是[*]。利用f(x)+f(4-x)在[0，4]连续，由连续函数的积分中值定理即知存在ξε(0，4)使得[*]。

解析

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