设n阶行列式D中有一行元素及其余子式均为a(a≠0)，k是正整数，则 ( )

admin2020-05-19 46

问题设n阶行列式D中有一行元素及其余子式均为a(a≠0)，k是正整数，则 ( )

选项 A、n＝2k，D＝0．
B、n＝2k＋1，D＝0．
C、n＝2k，D＝a²．
D、n＝2k＋1，D＝－a²．

答案A

解析不失一般性，设n阶行列式中第1行元素及其余子式均为a(a≠0)．按第1行展开，得
D＝a₁₁A₁₁＋a₁₂A₁₂＋…＋a_{1_n}A_{1_n}
＝a₁₁M₁₁＋a₁₂(－M₁₂)＋…＋a_{1_n}(－1)^n－1M_{1_n}＝a²－a²＋a²＋…＋(－1)^n＋1a²．
当n＝2k时，D＝a²－a²＋a²－…－a²＝0；
当n＝2k＋1时，D＝a²－a²＋a²－…＋(a²＝a²．
故应选(A)．
【注】注意余子式和代数余子式的区别(看清题目)，且
M_ij＝(－1)^i＋jA_ij或A_ij＝(－1)^i＋jM_ij

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