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设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为 记U=max{X,Y},V=min{X,Y}. (Ⅰ)求(U,V)的概率分布; (Ⅱ)求U与V的协方差Cov(U,V).
设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为 记U=max{X,Y},V=min{X,Y}. (Ⅰ)求(U,V)的概率分布; (Ⅱ)求U与V的协方差Cov(U,V).
admin
2017-10-25
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问题
设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为
记U=max{X,Y},V=min{X,Y}.
(Ⅰ)求(U,V)的概率分布;
(Ⅱ)求U与V的协方差Cov(U,V).
选项
答案
(Ⅰ)(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其联合概率密度函数为 [*] 若区域D表示为D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤z}∪{(x,y)|1≤x≤2,x-1≤y≤1},则X的边缘概率 密度函数为 [*] 若区域D表示为D={(x,y)|0≤y≤1,y≤x≤y+1},则Y的边缘概率密度函数为 [*] 所以f(x,y)=f
X
(x).f
Y
(y),即X与Y不相互独立. (Ⅱ)将D={(x,y)|0≤y≤1,y≤x≤y+1}转化为yOz平面的区域,则 D’={(y,z)|0≤y≤1,y≤z+y≤y+1}={(y,z)|0≤y≤1,0≤z≤1}. 于是由卷积公式可得随机变量函数Z的概率密度函数为 [*] (Ⅲ)因为E(xy)=∫
0
1
dy∫xydx=∫
y
y+1
(y
2
+[*] E(X)=∫
-∞
+∞
xf
X
(x)dx=∫
0
1
xdx+∫
1
2
x(2-x)dx=1; E(Y)=∫
-∞
+∞
xf
Y
(y)dy=∫
0
1
ydy=[*] 所以 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=[*]
解析
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考研数学一
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