2. 考研
  3. 设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为 记U=max{X，Y}，V=min{X，Y}． (Ⅰ)求(U，V)的概率分布； (Ⅱ)求U与V的协方差Cov(U，V)．

设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为 记U=max{X，Y}，V=min{X，Y}． (Ⅰ)求(U，V)的概率分布； (Ⅱ)求U与V的协方差Cov(U，V)．

admin2017-10-25  35
问题 设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为

记U=max{X，Y}，V=min{X，Y}．
(Ⅰ)求(U，V)的概率分布；
(Ⅱ)求U与V的协方差Cov(U，V)．
选项
答案(Ⅰ)(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其联合概率密度函数为 [*] 若区域D表示为D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤z}∪{(x，y)｜1≤x≤2，x-1≤y≤1}，则X的边缘概率 密度函数为 [*] 若区域D表示为D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}，则Y的边缘概率密度函数为 [*] 所以f(x，y)=fX(x).fY(y)，即X与Y不相互独立． (Ⅱ)将D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}转化为yOz平面的区域，则 D’={(y，z)｜0≤y≤1，y≤z+y≤y+1}={(y，z)｜0≤y≤1，0≤z≤1}． 于是由卷积公式可得随机变量函数Z的概率密度函数为 [*] (Ⅲ)因为E(xy)=∫01dy∫xydx=∫yy+1(y2+[*] E(X)=∫-∞+∞xfX(x)dx=∫01xdx+∫12x(2-x)dx=1； E(Y)=∫-∞+∞xfY(y)dy=∫01ydy=[*] 所以 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=[*]
解析
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考研数学一

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