设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明：存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得。

admin2017-11-30 13

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明：
存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得

。

选项

答案在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，则存在ξ∈(0，c)和η∈(c，1)，使得 f(c)－f(0)=cf^’(ξ) (1) f(1)一f(c)=(1一c)f^’(η) (2) 由(1)．f^’(η)+(2)．f^’(ξ)，结合f(0)=f(1)=0可得， [f^’(η)一f^’(ξ)]f(c)=f^’(ξ)f^’(η)，再由结论f(c)=[*]可知， [f^’(η)一f^’(ξ)][*]=f^’(ξ)f^’(η)，即[*]。

解析

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