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已知齐次线性方程组(I)为又已知线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k1(s,2,3,16)T+k2(2,1,2,t)T,其中k1,k2是任意常数.若方程组(I)与(Ⅱ)同解,试求m,n,s,t的值.
已知齐次线性方程组(I)为又已知线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k1(s,2,3,16)T+k2(2,1,2,t)T,其中k1,k2是任意常数.若方程组(I)与(Ⅱ)同解,试求m,n,s,t的值.
admin
2016-01-11
118
问题
已知齐次线性方程组(I)为
又已知线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k
1
(s,2,3,16)
T
+k
2
(2,1,2,t)
T
,其中k
1
,k
2
是任意常数.若方程组(I)与(Ⅱ)同解,试求m,n,s,t的值.
选项
答案
设η
1
=(s,2,3,16)
T
,η
2
=(2,1,2,t)
T
,依题意可知η
1
,η
2
为方程组(Ⅱ)的基础解系.把η
1
,η
2
分别代入方程组(I)中,得[*]以下证明当m=3,n=2,s=3,t=10时方程组(I)和(Ⅱ)同解. 此时方程组(Ⅱ)的基础解系为η
1
=(3,2,3,16)
T
,η
2
=(2,1,2,10)
T
. 先求方程组(I)的基础解系ξ
1
,ξ
2
,为此对方程组(I)的系数矩阵施以初等行变换,得[*]同解方程组为[*]其中k
1
,k
2
为任意常数. 于是方程组(I)的基础解系为ξ
1
=(0,1,0,2)
T
,ξ
2
=(1,0,1,4)
T
,要证方程组(I)与(Ⅱ)同解,只需证明(η
1
,η
2
)与(ξ
1
,ξ
2
)等价即可,为此[*]显然,r(ξ
1
,ξ
2
)=r(η
1
,η
2
)=r(ξ
1
,ξ
2
,η
1
,η
2
)=2,所以当m=3,n=2,s=3,t=10时方程组(I)与(Ⅱ)同解.
解析
本题是两个齐次线性方程组的同解问题,由于一个方程组已知,一个未知,故考虑用代入法,先把方程组(Ⅱ)两个解向量代入方程组(I)中,得到参数m,n,s,t的取值.注:要证明两个方程组同解,应先把方程组(I)的基础解系ξ
1
,ξ
2
求出来,再证其与方程组(Ⅱ)的基础解系等价即可.
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