2. 考研
  3. 已知齐次线性方程组(I)为又已知线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k1(s，2，3，16)T+k2(2，1，2，t)T，其中k1，k2是任意常数．若方程组(I)与(Ⅱ)同解，试求m，n，s，t的值．

已知齐次线性方程组(I)为又已知线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k1(s，2，3，16)T+k2(2，1，2，t)T，其中k1，k2是任意常数．若方程组(I)与(Ⅱ)同解，试求m，n，s，t的值．

admin2016-01-11  125
问题 已知齐次线性方程组(I)为又已知线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k1(s，2，3，16)T+k2(2，1，2，t)T，其中k1，k2是任意常数．若方程组(I)与(Ⅱ)同解，试求m，n，s，t的值．
选项
答案设η1=(s，2，3，16)T，η2=(2，1，2，t)T，依题意可知η1，η2为方程组(Ⅱ)的基础解系．把η1，η2分别代入方程组(I)中，得[*]以下证明当m=3，n=2，s=3，t=10时方程组(I)和(Ⅱ)同解． 此时方程组(Ⅱ)的基础解系为η1=(3，2，3，16)T，η2=(2，1，2，10)T． 先求方程组(I)的基础解系ξ1，ξ2，为此对方程组(I)的系数矩阵施以初等行变换，得[*]同解方程组为[*]其中k1，k2为任意常数． 于是方程组(I)的基础解系为ξ1=(0，1，0，2)T，ξ2=(1，0，1，4)T，要证方程组(I)与(Ⅱ)同解，只需证明(η1，η2)与(ξ1，ξ2)等价即可，为此[*]显然，r(ξ1，ξ2)=r(η1，η2)=r(ξ1，ξ2，η1，η2)=2，所以当m=3，n=2，s=3，t=10时方程组(I)与(Ⅱ)同解．
解析 本题是两个齐次线性方程组的同解问题，由于一个方程组已知，一个未知，故考虑用代入法，先把方程组(Ⅱ)两个解向量代入方程组(I)中，得到参数m，n，s，t的取值．注：要证明两个方程组同解，应先把方程组(I)的基础解系ξ1，ξ2求出来，再证其与方程组(Ⅱ)的基础解系等价即可．
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考研数学二

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