设A是四阶方阵，A*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( )．

admin2022-04-10 54

问题设A是四阶方阵，A^*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( )．

选项 A、A一E
B、2A一E
C、A+2E
D、A一4E

答案A

解析利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：|A|=λ₁λ₂…λ_n判别之，其中λ_i为A的特征值．
设A^*的特征值为λ₁^* ，λ₂^* ，λ₃^* ，λ₄^* ，则
λ₁^*=1，λ₂^*=一1，λ₃^*=2，λ₄^*=4，，
于是 |A^*|=1．(一1)．2．4=一8，
因而|A|^4一1=|A^*|，故|A|³=一8，即|A|=一2，所以A的特征值为

因而A一E的特征值为
μ₁=一2一1=一3，μ₂=2一1=1，
μ₃=一1一1=一2，μ₄=一1/2一1=一3/2，
故|A一E|=μ₁．μ₂．μ₃．μ₄=一9≠0，所以A一E可逆．

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考研数学三

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