2. 考研
  3. 设A是四阶方阵，A*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( )．

设A是四阶方阵，A*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( )．

admin2022-04-10  89
问题 设A是四阶方阵，A*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是(     )．
选项 A、A一E
B、2A一E
C、A+2E
D、A一4E
答案A
解析 利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：|A|=λ1λ2…λn判别之，其中λi为A的特征值．
设A*的特征值为λ1* ，λ2* ，λ3* ，λ4* ，则
λ1*=1，λ2*=一1，λ3*=2，λ4*=4，，
于是    |A*|=1．(一1)．2．4=一8，
因而|A|4一1=|A*|，故|A|3=一8，即|A|=一2，所以A的特征值为

因而A一E的特征值为
μ1=一2一1=一3，μ2=2一1=1，
μ3=一1一1=一2，μ4=一1/2一1=一3/2，
故|A一E|=μ1．μ2．μ3．μ4=一9≠0，所以A一E可逆．
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考研数学三

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