设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(1)=f’(1)=0．证明：存在不同的ξ，η∈(0，1)，使得ξ2f”(ξ)=2f’(η)( ξ-1)．

admin2022-05-20 83

问题设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(1)=f’(1)=0．
证明：存在不同的ξ，η∈(0，1)，使得ξ²f”(ξ)=2f’(η)( ξ-1)．

选项

答案由上题，有 ∫₀¹[x²f"(x)-2f(x)]dx=0．由积分中值定理，可知存在一点ξ∈(0，1)，使得ξ²f"(ξ)-2(ξ)=0，即 ξ²f"(ξ)-2[f(ξ)-f(1)]=0．由拉格朗日中值定理，可知存在一点η∈(ξ，1)，使得 ξ²f"(ξ)=2f’(η)(ξ-1)．

解析

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考研数学三

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