设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且f(1)=f’(1)=0. 证明:存在不同的ξ,η∈(0,1),使得ξ2f”(ξ)=2f’(η)( ξ-1).

admin2022-05-20  49

问题 设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且f(1)=f’(1)=0.
证明:存在不同的ξ,η∈(0,1),使得ξ2f”(ξ)=2f’(η)( ξ-1).

选项

答案由上题,有 ∫01[x2f"(x)-2f(x)]dx=0. 由积分中值定理,可知存在一点ξ∈(0,1),使得ξ2f"(ξ)-2(ξ)=0,即 ξ2f"(ξ)-2[f(ξ)-f(1)]=0. 由拉格朗日中值定理,可知存在一点η∈(ξ,1),使得 ξ2f"(ξ)=2f’(η)(ξ-1).

解析
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