设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0.证明积分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx.

admin2022-08-19 78

问题设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0.证明积分不等式：ln∫₀¹f(x)dx≥∫₀¹lnf(x)dx.

选项

答案令g(t)=lnt(t＞0)，g″(t)=-(1/t²)＜0，再令x₀=∫₀¹f(x)dx，则有 g(t)≤g(x₀)+g′(x₀)(t-x₀)[*]g[f(x)]≤g(x₀)+g′(x₀)[f(x)-x₀]，两边积分得 ∫₀¹lnf(x)dx≤ln∫₀¹f(x)dx.

解析

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