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已知β1，β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α1，α2是其对应的齐次线性方程组的基础解系，k1，k2是任意常数，则方程组AX=b的通解必是( )
已知β1，β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α1，α2是其对应的齐次线性方程组的基础解系，k1，k2是任意常数，则方程组AX=b的通解必是( )
admin
2017-05-18
27
问题
已知β
1
，β
2
是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α
1
，α
2
是其对应的齐次线性方程组的基础解系，k
1
，k
2
是任意常数，则方程组AX=b的通解必是( )
选项
A、k
1
α
1
+k
2
(α
1
+α
2
)+
B、k
1
α
1
+k
2
(α
1
-α
2
)+
C、k
1
α
1
+k
2
(β
1
+β
2
)+
D、k
1
α
1
+k
2
(β
1
-β
2
)+
答案
B
解析
排除A：
不是方程组AX=b的解；
排除C：β
1
+β
2
不是方程组AX=0的解；
排除D：虽然α
1
，β
1
-β
2
是AX=0的解，但α
1
，β
1
-β
2
是否线性无关未知，故不能断定它们构成AX=0的基础解系．
选项B：AX=-b的通解由Ax=0通解加上Ax=b的特解组成．
因为Aβ
1
=b，Aβ
2
=b，∴A(β
1
+β
2
)=2b，故
是Ax=b的特解．
因为α
1
，α
2
是Ax=0的基础解系，所以α
1
，α
2
无关且Aα
1
=0，Aα
2
=0，从而A(α
1
-α
2
)=0且α
1
与α
1
-α
2
无关(设k
1
α
1
+k
2
(α
1
-α
2
)=0，则(k
1
+k
2
)α
2
-k
2
α
2
=0，因α
1
，α
2
无关，从而k
1
=k
2
=0)，所以α
1
，α
1
-α
2
可做Ax=0的基础解系，从而B正确．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/squ4777K
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