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已知β1,β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解,α1,α2是其对应的齐次线性方程组的基础解系,k1,k2是任意常数,则方程组AX=b的通解必是( )
已知β1,β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解,α1,α2是其对应的齐次线性方程组的基础解系,k1,k2是任意常数,则方程组AX=b的通解必是( )
admin
2017-05-18
19
问题
已知β
1
,β
2
是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解,α
1
,α
2
是其对应的齐次线性方程组的基础解系,k
1
,k
2
是任意常数,则方程组AX=b的通解必是( )
选项
A、k
1
α
1
+k
2
(α
1
+α
2
)+
B、k
1
α
1
+k
2
(α
1
-α
2
)+
C、k
1
α
1
+k
2
(β
1
+β
2
)+
D、k
1
α
1
+k
2
(β
1
-β
2
)+
答案
B
解析
排除A:
不是方程组AX=b的解;
排除C:β
1
+β
2
不是方程组AX=0的解;
排除D:虽然α
1
,β
1
-β
2
是AX=0的解,但α
1
,β
1
-β
2
是否线性无关未知,故不能断定它们构成AX=0的基础解系.
选项B:AX=-b的通解由Ax=0通解加上Ax=b的特解组成.
因为Aβ
1
=b,Aβ
2
=b,∴A(β
1
+β
2
)=2b,故
是Ax=b的特解.
因为α
1
,α
2
是Ax=0的基础解系,所以α
1
,α
2
无关且Aα
1
=0,Aα
2
=0,从而A(α
1
-α
2
)=0且α
1
与α
1
-α
2
无关(设k
1
α
1
+k
2
(α
1
-α
2
)=0,则(k
1
+k
2
)α
2
-k
2
α
2
=0,因α
1
,α
2
无关,从而k
1
=k
2
=0),所以α
1
,α
1
-α
2
可做Ax=0的基础解系,从而B正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/squ4777K
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