设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数。 (I)求f(x1,x2,x3)=0的解; (Ⅱ)求f(x1,x2,x3)的规范形.

admin2018-03-26  62

问题 设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数。
    (I)求f(x1,x2,x3)=0的解;
    (Ⅱ)求f(x1,x2,x3)的规范形.

选项

答案(I)由f(x1,x2,x3)=0得 [*] 当a≠2时,方程组有唯一解:x1=x2=x3=0. 当a=2时,方程组有无穷解:令x1=1,可得解[*].k∈R. (Ⅱ)当a≠2时,做非退化的线性变换[*] 此时f(x1,x2,x3)的规范形为f=y12+y22+y32. 当a=2时,做非退化的线性变换[*] 则 f(x1,x2,x3)=y12+y22+(y1+y2)2=2y12+2y22+2y1y2 [*] 则f(x1,x2,x3)的规范形为f=z12+z22

解析
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