设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数。 (I)求f(x1，x2，x3)=0的解； (Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．

admin2018-03-26 87

问题设实二次型f(x₁，x₂，x₃)=(x₁一x₂+x₃)²+(x₂+x₃)²+(x₁+ax₃)²，其中a是参数。
(I)求f(x₁，x₂，x₃)=0的解；
(Ⅱ)求f(x₁，x₂，x₃)的规范形．

选项

答案(I)由f(x₁，x₂，x₃)=0得 [*] 当a≠2时，方程组有唯一解：x₁=x₂=x₃=0．当a=2时，方程组有无穷解：令x₁=1，可得解[*]．k∈R． (Ⅱ)当a≠2时，做非退化的线性变换[*] 此时f(x₁，x₂，x₃)的规范形为f=y₁²+y₂²+y₃²．当a=2时，做非退化的线性变换[*] 则 f(x₁，x₂，x₃)=y₁²+y₂²+(y₁+y₂)²=2y₁²+2y₂²+2y₁y₂ [*] 则f(x₁，x₂，x₃)的规范形为f=z₁²+z₂²．

解析

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考研数学三

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