2. 考研
  3. (2006年)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。 (I)求L的方程； (Ⅱ)当L与直线y=ax所围平面图形的面积为时，确定a的值。

(2006年)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。 (I)求L的方程； (Ⅱ)当L与直线y=ax所围平面图形的面积为时，确定a的值。

admin2021-01-25  104
问题 (2006年)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。
(I)求L的方程；
(Ⅱ)当L与直线y=ax所围平面图形的面积为时，确定a的值。
选项
答案(I)设曲线L的方程为y=f(x)，则由题设可得 [*] 这是一阶线性微分方程，其中P(x)=[*]，Q(x)=ax，代入通解 公式得 [*] 又f(1)=0，所以C=一a。故曲线L的方程为y=ax2一ax(x≠0)。 (Ⅱ)L与直线y=ax(a＞0)所围成平面图形如图所示。所以D=∫02[ax一(ax2一ax)]dx=a∫02(2x—x2)dx=[*]，故a=2。
解析
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考研数学三

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