2. 考研
  3. (1995年)设f(x)、g(x)在区间[一a，a](a＞0)上连续．g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(一x)=A(A为常数) (1)证明∫－aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx (2)利用(1)的结论计算定积分

(1995年)设f(x)、g(x)在区间[一a，a](a＞0)上连续．g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(一x)=A(A为常数) (1)证明∫－aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx (2)利用(1)的结论计算定积分

admin2019-05-11  48
问题 (1995年)设f(x)、g(x)在区间[一a，a](a＞0)上连续．g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(一x)=A(A为常数)
(1)证明∫－aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx
(2)利用(1)的结论计算定积分
选项
答案由于∫－aaf(x)g(x)dx=∫－a0f(x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx 又 ∫－a0f(x)g(x)dx[*]∫0af(－t)g(－t)dt=∫0af(－t)g(t)dt =∫0a(一x)g(x)dx 所以∫－aaf(x)g(x)dx=∫0a[f(x)+f(－x)]g(x)dx=A∫0ag(x)dx (2) 取f(x)= arctanex，f(x)= ｜sinx｜， [*] f(x)+f(一x)=arctanex+arctane－x 由于 [*] 则 arctanex+arctane－x=A 令x=0，得2arctan1=A， [*]
解析
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考研数学三

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