2. 考研
  3. 设f(x)在x＞0时连续，f(1)＝1，且∫1xyf(t)dt＝x∫1yf(t)dt＋y∫1xf(t)dt(x＞0，y＞0)，则f(x)＝( )

设f(x)在x＞0时连续，f(1)＝1，且∫1xyf(t)dt＝x∫1yf(t)dt＋y∫1xf(t)dt(x＞0，y＞0)，则f(x)＝( )

admin2022-06-09  2
问题 设f(x)在x＞0时连续，f(1)＝1，且∫1xyf(t)dt＝x∫1yf(t)dt＋y∫1xf(t)dt(x＞0，y＞0)，则f(x)＝(          )
选项 A、lnx＋1
B、1－2lnx
C、1－lnx
D、2lnx＋1
答案A
解析 已知等式两边同时对y求导，得
xf(xy)＝xf(y)＋∫1xf(t)dt
令y＝1，则
xf(x)＝x＋∫1xf(t)dt    ①
式①两边同时对x求导，得
f(x)＋xf’(x)＝f(x)＋1
解得f’(x)＝1/x，故f(x)＝ln x＋C
由f(1)＝1，得C＝1，故f’(x)＝Inx＋1，A正确
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考研数学二

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