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设f(x)在x>0时连续,f(1)=1,且∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt(x>0,y>0),则f(x)=( )
设f(x)在x>0时连续,f(1)=1,且∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt(x>0,y>0),则f(x)=( )
admin
2022-06-09
10
问题
设f(x)在x>0时连续,f(1)=1,且∫
1
xy
f(t)dt=x∫
1
y
f(t)dt+y∫
1
x
f(t)dt(x>0,y>0),则f(x)=( )
选项
A、lnx+1
B、1-2lnx
C、1-lnx
D、2lnx+1
答案
A
解析
已知等式两边同时对y求导,得
xf(xy)=xf(y)+∫
1
x
f(t)dt
令y=1,则
xf(x)=x+∫
1
x
f(t)dt ①
式①两边同时对x求导,得
f(x)+xf’(x)=f(x)+1
解得f’(x)=1/x,故f(x)=ln x+C
由f(1)=1,得C=1,故f’(x)=Inx+1,A正确
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考研数学二
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