2. 考研
  3. 若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的χn∈(0，1)，使得f′

若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的χn∈(0，1)，使得f′

admin2020-04-21  58
问题 若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证：
    (Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))；
    (Ⅱ)自然数n，存在唯一的χn∈(0，1)，使得f′(χn)＝．
选项
答案(Ⅰ)由题设条件及罗尔定理，[*]a∈(0，1)，f′(a)＝0．由f〞(χ)＜0(χ∈(0，1))推出f′(χ)在(0，1)↘ [*] 则f(χ)在[0，a][*]，在[a，1]↘ [f(χ)＞f(0)＝0(0＜χ≤a)， f(χ)＞f(1)＝0(a≤χ＜1)， 得f(χ)＞0(χ∈(0，1))． [*] (Ⅱ)由题设知存在χM∈(0，1)使得f(χM)＝M＞0． 先证[*]是f′(χ)的某一中间值． 因f′(χM)＝0，由拉格朗日中值定理，存在ξn∈(0，χM)使得 [*] 亦即f′(χM)＜[*]＜f′(ξn)． 这里f′(χ)在[ξn，χM]连续，再由连续函数中间值定理得，存在χn∈(ξn，χM)[*](0，1)，使得f′(χn)＝[*]． 最后再证唯一性． 由f〞(χ)＜0(χ∈(0，1))推出f′(χ)在(0，1)单调减少，则在区间(0，1)内f′(χ)＝[*]的点是唯一的，即χn．
解析
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考研数学二

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