设y(x)是区间(0,3/2)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线L:y=y(x)上的任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点(0,YP),法线与X轴相交于点(XP,0).若XP=YP,求L上点的坐标(x,y)满足的方程.

admin2022-09-22  40

问题 设y(x)是区间(0,3/2)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线L:y=y(x)上的任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点(0,YP),法线与X轴相交于点(XP,0).若XP=YP,求L上点的坐标(x,y)满足的方程.

选项

答案点P(x,y)处的切线方程为Y-y=y’(X-x).令X=0,得YP=y-y’x. 点P(x,y)处的法线方程为Y-y=-[*](X-x).令Y=0,得XP=x+yy’. 由于XP=YP,可得y-xy’=x+yy’,即[*] 令y/x=u,则y=ux,[*]可转变为 (u+1)(u+x[*])=u-1. 上述方程为可分离变量的微分方程,分离变量可得[*] 两边分别积分得arctan u+[*]ln(1+u2)=-ln|x|+C,即arctan[*]ln(x2+y2)=C. 又y(1)=0,可得C=0.因此直线L上点的坐标(x,y)在区间(0,3/2)上满足的方程为 2arctan[*]+ln(x2+y2)=0.

解析
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