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设y(x)是区间(0,3/2)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线L:y=y(x)上的任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点(0,YP),法线与X轴相交于点(XP,0).若XP=YP,求L上点的坐标(x,y)满足的方程.
设y(x)是区间(0,3/2)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线L:y=y(x)上的任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点(0,YP),法线与X轴相交于点(XP,0).若XP=YP,求L上点的坐标(x,y)满足的方程.
admin
2022-09-22
84
问题
设y(x)是区间(0,3/2)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线L:y=y(x)上的任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点(0,Y
P
),法线与X轴相交于点(X
P
,0).若X
P
=Y
P
,求L上点的坐标(x,y)满足的方程.
选项
答案
点P(x,y)处的切线方程为Y-y=y’(X-x).令X=0,得Y
P
=y-y’x. 点P(x,y)处的法线方程为Y-y=-[*](X-x).令Y=0,得X
P
=x+yy’. 由于X
P
=Y
P
,可得y-xy’=x+yy’,即[*] 令y/x=u,则y=ux,[*]可转变为 (u+1)(u+x[*])=u-1. 上述方程为可分离变量的微分方程,分离变量可得[*] 两边分别积分得arctan u+[*]ln(1+u
2
)=-ln|x|+C,即arctan[*]ln(x
2
+y
2
)=C. 又y(1)=0,可得C=0.因此直线L上点的坐标(x,y)在区间(0,3/2)上满足的方程为 2arctan[*]+ln(x
2
+y
2
)=0.
解析
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考研数学二
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