2. 考研
  3. 设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．

设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．

admin2019-05-11  65
问题 设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．
选项
答案用反证法．设x1+x2为方阵A的属于特征值λ0．的特征向量，则有 A(x1+x2)=λ0(x1+x2) 或Ax1+Ax2=λ0x1+λ0x2 由已知，有Axi=λix2(i=1，2)，于是有 λ1x1+λ2xi=λ0x1+λ0xx 即(λ1－λ0)x1+(λ2－λ0)x2=0 因为x1、x2分别是属于不同特征值的特征向量，故x1与x2线性无关，因此由上式得 λ1－λ0=0，λ2－λ0=0 于是得λ1=λ0=λ2，这与λ1≠λ2矛盾．所以x1+x2不是A的特征向量．
解析
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考研数学三

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