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设λ1,λ2是n阶方阵A的两个不同特征值,x1,x2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:x1+x2不是A的特征向量.
设λ1,λ2是n阶方阵A的两个不同特征值,x1,x2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:x1+x2不是A的特征向量.
admin
2019-05-11
66
问题
设λ
1
,λ
2
是n阶方阵A的两个不同特征值,x
1
,x
2
分别是属于λ
1
,λ
2
的特征向量.证明:x
1
+x
2
不是A的特征向量.
选项
答案
用反证法.设x
1
+x
2
为方阵A的属于特征值λ
0
.的特征向量,则有 A(x
1
+x
2
)=λ
0
(x
1
+x
2
) 或Ax
1
+Ax
2
=λ
0
x
1
+λ
0
x
2
由已知,有Ax
i
=λ
i
x
2
(i=1,2),于是有 λ
1
x
1
+λ
2
x
i
=λ
0
x
1
+λ
0
x
x
即(λ
1
-λ
0
)x
1
+(λ
2
-λ
0
)x
2
=0 因为x
1
、x
2
分别是属于不同特征值的特征向量,故x
1
与x
2
线性无关,因此由上式得 λ
1
-λ
0
=0,λ
2
-λ
0
=0 于是得λ
1
=λ
0
=λ
2
,这与λ
1
≠λ
2
矛盾.所以x
1
+x
2
不是A的特征向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tIJ4777K
0
考研数学三
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