设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．

admin2019-05-11 61

问题设λ₁，λ₂是n阶方阵A的两个不同特征值，x₁，x₂分别是属于λ₁，λ₂的特征向量．证明：x₁+x₂不是A的特征向量．

选项

答案用反证法．设x₁+x₂为方阵A的属于特征值λ₀．的特征向量，则有 A(x₁+x₂)=λ₀(x₁+x₂) 或Ax₁+Ax₂=λ₀x₁+λ₀x₂ 由已知，有Ax_i=λ_ix₂(i=1，2)，于是有 λ₁x₁+λ₂x_i=λ₀x₁+λ₀x_x 即(λ₁－λ₀)x₁+(λ₂－λ₀)x₂=0 因为x₁、x₂分别是属于不同特征值的特征向量，故x₁与x₂线性无关，因此由上式得 λ₁－λ₀=0，λ₂－λ₀=0 于是得λ₁=λ₀=λ₂，这与λ₁≠λ₂矛盾．所以x₁+x₂不是A的特征向量．

解析

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考研数学三

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