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(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微及微分的定义; (Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则 f’x(x0,y0)与f’y(x0,y0)都存在,且=f’x(x0,y0)△x+f’y(x0,y0)
(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微及微分的定义; (Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则 f’x(x0,y0)与f’y(x0,y0)都存在,且=f’x(x0,y0)△x+f’y(x0,y0)
admin
2018-03-30
83
问题
(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处可微及微分
的定义;
(Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处可微,则
f’
x
(x
0
,y
0
)与f’
y
(x
0
,y
0
)都存在,且
=f’
x
(x
0
,y
0
)△x+f’
y
(x
0
,y
0
)△y,
(Ⅲ)举例说明(Ⅱ)的逆定理不成立.
选项
答案
(Ⅰ)定义:设z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)的某邻域U内有定义,(x
0
+△x,y
0
+△y)∈U.增量 △z=f(x
0
+△x,y
0
+△y)一f(x
0
,y
0
)[*]A△x+B△y+ο(ρ), (*) 其中A,B与△x和△y都无关,ρ=[*]=0,则称f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处可微,并称 [*] 为z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处的微分. (Ⅱ)[证] 设z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处可微,则(*)式成立.令△y=0,于是 [*] 令△x→0,有[*]=B.证明了f’
x
(x
0
,y
0
)与f’
y
(x
0
,y
0
)存在,并且 [*]=f’
x
(x
0
,y
0
)△x+f’
y
(x
0
,y
0
)△y. (Ⅲ)当f’
x
(x
0
,y
0
)与f’
y
(x
0
,y
0
)存在时,z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处未必可微.反例: [*] 同理 f’
y
(0,0)=0. 两个偏导数存在.以下用反证法证出f(x,y)在点(0,0)处不可微.若可微,则有 △f=f(△x,△y)一f(0,0)=0△x+0△y+ο(ρ), [*] 但此式是不成立的.例如取△y=k△x, [*] 极限值随k的变化而变化,(**)式不成立,所以f(x,y)在点(0,0)处不可微.
解析
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0
考研数学三
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