2. 考研
  3. (Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义； (Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则 f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)

(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义； (Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则 f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)

admin2018-03-30  87
问题 (Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义；
(Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则
f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y，
(Ⅲ)举例说明(Ⅱ)的逆定理不成立．
选项
答案(Ⅰ)定义：设z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域U内有定义，(x0+△x，y0+△y)∈U．增量 △z=f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)[*]A△x+B△y+ο(ρ)， (*) 其中A，B与△x和△y都无关，ρ=[*]=0，则称f(x，y)在点(x0，y0)处可微，并称 [*] 为z=f(x，y)在点(x0，y0)处的微分． (Ⅱ)[证] 设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则(*)式成立．令△y=0，于是 [*] 令△x→0，有[*]=B．证明了f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)存在，并且 [*]=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y． (Ⅲ)当f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)存在时，z=f(x，y)在点(x0，y0)处未必可微．反例： [*] 同理 f’y(0，0)=0． 两个偏导数存在．以下用反证法证出f(x，y)在点(0，0)处不可微．若可微，则有 △f=f(△x，△y)一f(0，0)=0△x+0△y+ο(ρ)， [*] 但此式是不成立的．例如取△y=k△x， [*] 极限值随k的变化而变化，(**)式不成立，所以f(x，y)在点(0，0)处不可微．
解析
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考研数学三

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