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函数f(x)=x22x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=________.
函数f(x)=x22x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=________.
admin
2022-09-22
20
问题
函数f(x)=x
2
2
x
在x=0处的n阶导数f
(n)
(0)=________.
选项
答案
n(n-1)(ln 2)
n-2
解析
解法一 利用莱布尼茨公式(求函数乘积的高阶导数)求解.
f
(n)
(x)=
C
n
k
(x
2
)
(k)
(2
x
)
(n-k)
.
注意到(x
2
)
(k)
|
x=0
=0(k≠2),则有
f
(n)
(0)=C
n
2
2(2
x
)
(n-2)
|
x=0
=
2(In 2)
n-2
=n(n-1)(ln 2)
n-2
(n≥2).
又f’(0)=0,因此f
(n)
(0)=n(n-1)(In 2)
n-2
(n=1,2,3…).
解法二 利用泰勒展开公式求解
f(x)=x
2
2
x
=x
2
e
x ln 2
=
由逐项求导公式,可得f
(n)
(0)=
·n!=n(n-1)(ln 2)
n-2
(n≥2).
又f’(0)=0,因此f
(n)
(0)=n(n-1)(ln 2)
n-2
(n=1,2,3…).
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考研数学二
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