设矩阵有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。

admin2017-01-13 28

问题设矩阵

有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)^T(AP)为对角矩阵。

选项

答案因为3是A的特征值，故｜3E—A｜=8(3一y一1)=0，解得y=2。于是[*] 由于A^T=A，要(AP)^T(AP)=P^TA²P=A，而[*] 是对称矩阵，即要A²～A，故可构造二次型x^TA²x，再化其为标准形。由配方法，有x^TA²x=x₁²+x₂²+5x₃²+5x₄²+8x₄x₄=y₁²+₂²+5y₃²+[*]y₄²，其中y₁=x₁，y₂=x₂,[*]，y₄=x₄，即 [*]

解析

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