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设4元齐次方程组(I)为 且已知另-4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T. 当a为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部
设4元齐次方程组(I)为 且已知另-4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T. 当a为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部
admin
2019-12-26
68
问题
设4元齐次方程组(I)为
且已知另-4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α
1
=(2,-1,a+2,1)
T
,α
2
=(-1,2,4,a+8)
T
.
当a为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解.
选项
答案
【解法1】 由题设条件,方程组(Ⅱ)的全部解为 [*] 其中k
1
,k
2
为任意常数. 将上式代入方程组(I),得 [*] 要使方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解,只需关于k
1
,k
2
的方程组有非零解,因为 [*] 所以当a≠-1时,方程组(I)和(Ⅱ)无非零公共解。当a=-1时,方程组(*)有非零解,且k
1
,k
2
为不全为零的任意常数,此时可得方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解为 [*] 其中,k
1
,k
2
为不全为零的任意常数. 【解法2】 设方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为η,则η能由(I)与(Ⅱ)的解线性表示,于是有k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使得 η=k
1
α
1
+k
2
α
2
=k
3
β
1
+k
4
β
2
, 由此得线性方程组 [*] 对方程组(Ⅲ)的系数矩阵施以初等行变换,有 [*] 由此可知,当a≠-1时,方程组(Ⅲ)的系数矩阵是满秩的,方程组(Ⅲ)仅有零解.故方程组(I)与(Ⅱ)无非零公共解. 当a=-1时,方程组(Ⅲ)的同解方程组为 [*] 令k
3
=c
1
,k
4
=c
2
,得方程组(I)与(Ⅱ)的非零公共解为 [*]
解析
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考研数学三
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