2. 考研
  3. 设4元齐次方程组(I)为 且已知另－4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2，－1，a+2，1)T，α2=(－1，2，4，a+8)T． 当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部

设4元齐次方程组(I)为 且已知另－4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2，－1，a+2，1)T，α2=(－1，2，4，a+8)T． 当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部

admin2019-12-26  29
问题 设4元齐次方程组(I)为
        
且已知另－4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
       α1=(2，－1，a+2，1)T，α2=(－1，2，4，a+8)T．
当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解．
选项
答案【解法1】 由题设条件，方程组(Ⅱ)的全部解为 [*] 其中k1，k2为任意常数． 将上式代入方程组(I)，得 [*] 要使方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解，只需关于k1，k2的方程组有非零解，因为 [*] 所以当a≠－1时，方程组(I)和(Ⅱ)无非零公共解。当a=－1时，方程组(*)有非零解，且k1，k2为不全为零的任意常数，此时可得方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解为 [*] 其中，k1，k2为不全为零的任意常数． 【解法2】 设方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为η，则η能由(I)与(Ⅱ)的解线性表示，于是有k1，k2，k3，k4，使得 η=k1α1+k2α2=k3β1+k4β2， 由此得线性方程组 [*] 对方程组(Ⅲ)的系数矩阵施以初等行变换，有 [*] 由此可知，当a≠－1时，方程组(Ⅲ)的系数矩阵是满秩的，方程组(Ⅲ)仅有零解．故方程组(I)与(Ⅱ)无非零公共解． 当a=－1时，方程组(Ⅲ)的同解方程组为 [*] 令k3=c1，k4=c2，得方程组(I)与(Ⅱ)的非零公共解为 [*]
解析
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考研数学三

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