设4元齐次方程组(I)为 且已知另-4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T. 当a为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部

admin2019-12-26  27

问题 设4元齐次方程组(I)为
        
且已知另-4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
       α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T
当a为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解.

选项

答案【解法1】 由题设条件,方程组(Ⅱ)的全部解为 [*] 其中k1,k2为任意常数. 将上式代入方程组(I),得 [*] 要使方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解,只需关于k1,k2的方程组有非零解,因为 [*] 所以当a≠-1时,方程组(I)和(Ⅱ)无非零公共解。当a=-1时,方程组(*)有非零解,且k1,k2为不全为零的任意常数,此时可得方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解为 [*] 其中,k1,k2为不全为零的任意常数. 【解法2】 设方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为η,则η能由(I)与(Ⅱ)的解线性表示,于是有k1,k2,k3,k4,使得 η=k1α1+k2α2=k3β1+k4β2, 由此得线性方程组 [*] 对方程组(Ⅲ)的系数矩阵施以初等行变换,有 [*] 由此可知,当a≠-1时,方程组(Ⅲ)的系数矩阵是满秩的,方程组(Ⅲ)仅有零解.故方程组(I)与(Ⅱ)无非零公共解. 当a=-1时,方程组(Ⅲ)的同解方程组为 [*] 令k3=c1,k4=c2,得方程组(I)与(Ⅱ)的非零公共解为 [*]

解析
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