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设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且f(0)=f’(0)=0,并当x>0时满足xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1一e-x.证明当x>0时,f(x)<
设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且f(0)=f’(0)=0,并当x>0时满足xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1一e-x.证明当x>0时,f(x)<
admin
2019-01-05
60
问题
设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且f(0)=f’(0)=0,并当x>0时满足xf"(x)+3x[f’(x)]
2
≤1一e
-x
.证明当x>0时,f(x)<
选项
答案
由泰勒公式及已知条件得 [*] 其中,x>0,0<ξ<x. 现只需证f”(x)<1(x>0).由题设条件有 [*] 令 F(x)=x一(1一e
-x
)=x+e
-x
一1. 因此 F(0)=0,F’(x)=1一e
-x
>0(x>0). 所以F(x)在[0,+∞)单调增加,故F(x)>F(0)=0(x>0).即 [*] 最后结合第一个等式得 [*]
解析
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考研数学三
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