2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值，λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

设3阶实对称矩阵A的特征值，λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

admin2016-10-20  50
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值，λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
    (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；  (Ⅱ)求矩阵B．
选项
答案(Ⅰ)由Aα=λα有Anα=λnα．那么，对于Aα1=λ1α1=α1，有 Bα1=(A5-4A32+E)α1=A5α1-4A3α1+α1=(λ15-4λ13+1)α1=-2α1． 因此，向量α1是矩阵B属于特征值λ=-2的特征向量． 类似地，对λ2=2，λ3=-2有：若Aα=λ2α，则Bα=(λ25-4λ23+1)α=α； 若Aβ=λ3β，则Bβ=(λ35-4λ33+1)β=β，那么α，β是矩阵B属于特征值λ=1的特征向量．因α，β是矩阵A不同特征值的特征向量，因此它们线性无关．从而矩阵B的特征值是：-2，1，1，且矩阵B属于特征值λ=-2的特征向量是k1α1(k1≠0)． 又由A是实对称矩阵知，B是实对称矩阵．那么B的属于特征值λ=1与λ=-2的特征向量应当相互正交．设矩阵B属于λ=1的特征向量α=(x1，x2，x3)T，则 x1-x2+x3=0. 解此方程组得基础解系α2=(1，1，0)T，α3=(-1，0，1)T．故矩阵B属于λ=1的特征向量是k2α2+k3α3(k2，k3不全为0)． (Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，有P-1BP= [*]
解析
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考研数学三

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