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设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.
设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.
admin
2016-10-24
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问题
设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx.
选项
答案
因为f’(x)在区间[0,1]上连续,所以f’(x)在区间[0,1]上取到最大值M和最小值m,对f(x)一f(0)=f’(c)x(其中f介于0与x之间)两边积分得 ∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
f’(c)xdx, 由m≤f’(c)≤M得m∫
0
1
xdx≤∫
0
1
f’(c)xdx≤M∫
0
1
xdx, 即m≤2∫
0
1
f’(c)xdx≤M或m≤2∫
0
1
f(x)dx≤M, 由介值定理,存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫
0
1
(x)dx.
解析
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考研数学三
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