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设A为3阶实对称矩阵,A2+2A=0,r(A)=2,且A+kE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵,则k满足的条件为( )
设A为3阶实对称矩阵,A2+2A=0,r(A)=2,且A+kE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵,则k满足的条件为( )
admin
2021-04-07
59
问题
设A为3阶实对称矩阵,A
2
+2A=0,r(A)=2,且A+kE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵,则k满足的条件为( )
选项
A、k>2
B、k≥2
C、k<-3
D、k≤-3
答案
A
解析
设λ为A的特征值,对应的特征向量为α(α≠0),则Aa=λα,于是(A
2
+2A)α=(λ
2
+2λ)α=0,
又由于α≠0,故有λ
2
+2λ=0,解得λ=-2,λ=0。
因为实对称矩阵A必可相似对角化,又r(A)=2,所以
A~∧=
因此,A的特征值为λ
1
=λ
2
=-2,λ
3
=0,矩阵A+kE的特征值为-2+k,-2+k,k。
于是,A+kE为正定矩阵当且仅当A+是E的特征值均大于零,这等价于k>2。
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考研数学二
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