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  3. 设A是n阶矩阵，A＝E＋χyT，χ与y都是n×1矩阵，且yTχ＝2，求A的特征值、特征向量．

设A是n阶矩阵，A＝E＋χyT，χ与y都是n×1矩阵，且yTχ＝2，求A的特征值、特征向量．

admin2020-03-05  10
问题 设A是n阶矩阵，A＝E＋χyT，χ与y都是n×1矩阵，且yTχ＝2，求A的特征值、特征向量．
选项
答案令B＝χyT＝[*](y1，y2，…，yn)，则B2＝(χyT)(χyT)＝χ(yTχ)yT＝2χyT＝2B，可见B的特征值只能是0或2． 因为[*] 则r(B)＝1，故齐次方程组Bχ＝0的基础解系由n－1个向量组成，且基础解系是：α1＝(－y2，y1，0，…，0)T，α2＝=(－y3，0，y1，…，0)T，…，αn-1＝(－yn，0，0，…，y1)T．这正是B的关于λ＝0也是A关于λ＝1的n－1个线性无关的特征向量． 由于B2＝2B，对B按列分块，记B＝(β1，β2，…，βn)，则B(β1，β2，…，βn)＝2(β1，β2，…，βn)，即Bβi＝2βi，可见α＝(χ1，χ2，…χn)T是B关于λ＝2，也就是A关于λ＝3的特征向量． 那么A的特征值是1(n－1重根)和3，特征向量分别是 k1α1＋k2α2＋…＋kn-1αn-1，knαn，其中k1，k2，…，kn-1不全为0，kn≠0．
解析
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考研数学一

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