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  3. [2003年]设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性；

[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性；

admin2019-04-08  20
问题 [2003年]设函数f(x)连续且恒大于零，

其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．
讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性；
选项
答案因Ω(t)为球体，且被积函数为x2+y2+z2的函数，故用球面坐标系计算三重积分，对分子使用球坐标变换x=ρsinφcosθ，y=ρsinφsinθ，z=ρcosφ： [*] f(x2+y2+z2)dV=∫02πdθ∫0πdφ∫0tf(ρ2)ρ2sinφdρ =∫02πdθ∫0πsinφdφ∫0tf(ρ2)ρ2dρ =4π∫0tf(ρ2)ρ2dρ． 分母作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，得 [*]f(x2+y2)dσ=∫02πdθ∫0tf(r2)rdr=2π∫0tf(r2)rdr， ∫-ttf(x2)dx=2∫0tf(r2)dr (因f(r2)为偶函数)． 因而 F(t)=2∫0tf(ρ2)ρ2dρ/∫0tf(r2)rdr， G(t)=π∫0tf(r2)rdr/∫0tf(r2)dr. 利用变上限求导公式，经计算得到 F’(t)=[2f(t2)t2]∫0tf(r2)rdr一2f(t2)t∫0tf(ρ2)ρ2dρ/[∫0tf(r2)rdr]2 =2tf(t2)[∫0ttrf(r2)dr一∫0tf(r2)r2dr／[∫0tf(r2)rdr]2 =2tf(t2)[∫0tf(r2)r(t-r)dr]／[∫0tf(r2)rdr]2 故在(0，+∞)上F’(t)＞0，所以F(t)在(0，+∞)内单调增加．
解析
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考研数学一

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