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[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零, 其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. 讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;
[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零, 其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. 讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;
admin
2019-04-08
42
问题
[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零,
其中Ω(t)={(x,y,z)|x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
},D(t)={(x,y)|x
2
+y
2
≤t
2
}.
讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;
选项
答案
因Ω(t)为球体,且被积函数为x
2
+y
2
+z
2
的函数,故用球面坐标系计算三重积分,对分子使用球坐标变换x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ: [*] f(x
2
+y
2
+z
2
)dV=∫
0
2π
dθ∫
0
π
dφ∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
sinφdρ =∫
0
2π
dθ∫
0
π
sinφdφ∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
dρ =4π∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
dρ. 分母作极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,得 [*]f(x
2
+y
2
)dσ=∫
0
2π
dθ∫
0
t
f(r
2
)rdr=2π∫
0
t
f(r
2
)rdr, ∫
-t
t
f(x
2
)dx=2∫
0
t
f(r
2
)dr (因f(r
2
)为偶函数). 因而 F(t)=2∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
dρ/∫
0
t
f(r
2
)rdr, G(t)=π∫
0
t
f(r
2
)rdr/∫
0
t
f(r
2
)dr. 利用变上限求导公式,经计算得到 F’(t)=[2f(t
2
)t
2
]∫
0
t
f(r
2
)rdr一2f(t
2
)t∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
dρ/[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
=2tf(t
2
)[∫
0
t
trf(r
2
)dr一∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr/[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
=2tf(t
2
)[∫
0
t
f(r
2
)r(t-r)dr]/[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
故在(0,+∞)上F’(t)>0,所以F(t)在(0,+∞)内单调增加.
解析
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0
考研数学一
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