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已知y1(x)=ex,y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个解,若u(—1)=e,u(0)=一1,求u(x),并写出该微分方程的通解.
已知y1(x)=ex,y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个解,若u(—1)=e,u(0)=一1,求u(x),并写出该微分方程的通解.
admin
2019-02-26
40
问题
已知y
1
(x)=e
x
,y
2
(x)=u(x)e
x
是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个解,若u(—1)=e,u(0)=一1,求u(x),并写出该微分方程的通解.
选项
答案
计算得y’
2
(x)=[u’(x)+u(x)]e
x
,y’’
2
(x)=[u’’(x)+2u’(x)+u(x)]e
x
, 将y
2
(x)=u(x)e
x
代入方程(2x-1)y’’一(2x+1)y’+2y=0有 (2x一1)u’’(x)+(2x一3)u’(x)=0, [*] 两边积分lnu’(x)=一x+ln(2x一1)+lnC
1
, 即 u’(x)=C
1
(2x—1)e
-x
. 故 u(x)=一C
1
(2x+1)e
-x
+C
2
由条件u(一1)=e,u(0)=一1,得C
1
=1,C
2
=0,即u(x)=一(2x+1)e
-x
. y
1
(x),y
2
(x)是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个线性无关的解,所以通解为y(x)=C
1
e+C
2
(2x+1).
解析
根据已知的关系式,变形得到关于u(x)的微分方程,解微分方程求得u(x).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MG04777K
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考研数学一
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