设a＞e，0＜χ＜y＜，求证ay－aχ＞(cosχ－cosy)aχlna．

admin2018-08-12 26

问题设a＞e，0＜χ＜y＜

，求证a^y－a^χ＞(cosχ－cosy)a^χlna．

选项

答案把不等式改写成 [*] 注意到(a^χ)′＝a^χlna，(cosχ)′＝－sinχ，而｜sinχ｜≤1．对f(t)＝a^t，g(t)＝cost，在区间[χ，y]上应用柯西中值定理，即知存在满足0＜χ＜ξ＜y＜[*]的ξ，使得 [*] 即a^y－a^χ＝(cosχ－cosy).a^ξlna.[*] 由于a^χ＜a^ξ，0＜sinξ＜1，故由上式可得 a^y－a^χ＞(cosχ－cosy)a^χlna．

解析

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