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设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,又a1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.
设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,又a1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.
admin
2013-09-15
42
问题
设3阶对称矩阵A的特征向量值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,又a
1
=(1,-1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量.记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.
(Ⅰ)验证a
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B.
选项
答案
(I)容易验证A
n
a
1
=λ
1
n
a
1
(n=1,2,3,…),于是 Ba
1
=(A
5
+4A
3
+B)a
1
=(λ
1
5
-4λ
1
3
+1)a
1
=-2a
1
. 于是-2是矩阵B的特征值,k
1
a
1
是B属于特征值-2的全部特征向量(k
1
∈R,非零). 同理可求得矩阵B的另外两个特征值1、1. 因为A为实对称矩阵,则B也为实对称矩阵,于是矩阵B属于不同特征值的特征向量正交.设B的属于1的特征向量为(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则有方程x
1
-x
2
+x
3
=0. 于是B的属于1的全部特征向量为β=k
2
a
2
+k
3
a
3
,其中a
2
=(-1,0,1)
T
,a
3
=(1,1,0)
T
,k
2
,k
3
∈R。不全为零.(Ⅱ)令矩阵P=(a
1
,a
2
,a
3
)=[*],则P
-1
BP=diag(-2,1,1),于是B=P.diag(-2,1,1)P
-1
=[*]diag(-2,1,1)[*]
解析
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考研数学二
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