2. 考研
  3. 设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，又a1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证a1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，又a1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证a1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

admin2013-09-15  56
问题 设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，又a1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
  (Ⅰ)验证a1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
  (Ⅱ)求矩阵B．
选项
答案(I)容易验证Ana1=λ1na1(n=1，2，3，…)，于是 Ba1=(A5+4A3+B)a1=(λ15-4λ13+1)a1=-2a1． 于是-2是矩阵B的特征值，k1a1是B属于特征值-2的全部特征向量(k1∈R，非零)． 同理可求得矩阵B的另外两个特征值1、1． 因为A为实对称矩阵，则B也为实对称矩阵，于是矩阵B属于不同特征值的特征向量正交．设B的属于1的特征向量为(x1，x2，x3)T，则有方程x1-x2+x3=0． 于是B的属于1的全部特征向量为β=k2a2+k3a3，其中a2=(-1，0，1)T，a3=(1，1，0)T，k2，k3∈R。不全为零．(Ⅱ)令矩阵P=(a1，a2，a3)=[*]，则P-1BP=diag(-2，1，1)，于是B=P.diag(-2，1，1)P-1=[*]diag(-2，1，1)[*]
解析
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考研数学二

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