(95年)已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=4χ22-3χ32+4χ1χ2-4χ1χ3+8χ2χ3. (1)写出二次型.厂的矩阵表达式; (2)用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.

admin2021-01-25  44

问题 (95年)已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=4χ22-3χ32+4χ1χ2-4χ1χ3+8χ2χ3
    (1)写出二次型.厂的矩阵表达式;
    (2)用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.

选项

答案(1)f的矩阵表达式为 f(χ1,χ2,χ3)=(χ1,χ2,χ3)[*] (2)f的矩阵为 [*] 由A的特征方程 [*] 得A的全部特征值为λ1=1,λ2=6,λ3=-6.计算可得,对应的特征向量分别可取为 α1=(2,0,一1)T,α2=(1,5,2)T,α3=(1,-1,2)T 对应的单位特征向量为 [*] 由此可得所求的正交矩阵为 P=[β1 β2 β3]=[*] 对二次型f作正交变换 [*] 则二次型f可化为如下标准形:f=y12+6y22-6y32

解析
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