(95年)已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝4χ22－3χ32＋4χ1χ2－4χ1χ3＋8χ2χ3． (1)写出二次型．厂的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

admin2021-01-25 70

问题 (95年)已知二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝4χ₂²－3χ₃²＋4χ₁χ₂－4χ₁χ₃＋8χ₂χ₃．
(1)写出二次型．厂的矩阵表达式；
(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

选项

答案(1)f的矩阵表达式为 f(χ₁，χ₂，χ₃)＝(χ₁，χ₂，χ₃)[*] (2)f的矩阵为 [*] 由A的特征方程 [*] 得A的全部特征值为λ₁＝1，λ₂＝6，λ₃＝－6．计算可得，对应的特征向量分别可取为 α₁＝(2，0，一1)^T，α₂＝(1，5，2)^T，α₃＝(1，－1，2)^T 对应的单位特征向量为 [*] 由此可得所求的正交矩阵为 P＝[β₁ β₂ β₃]＝[*] 对二次型f作正交变换 [*] 则二次型f可化为如下标准形：f＝y₁²＋6y₂²－6y₃²．

解析

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考研数学三

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(95年)已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝4χ22－3χ32＋4χ1χ2－4χ1χ3＋8χ2χ3． (1)写出二次型．厂的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

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